Задача 86518

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали равнобокой трапеции АВСD с боковой стороной АВ пересекаются в точке Р. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника ABP?

Решение

Ответ: верно. Пусть О — центр окружности, описанной около трапеции (см. рис.). Тогда, по свойству угла, вписанного в окружность, AOB = 2ADB = PAD + PDA = APB (так как трапеция — равнобокая). Из равенства углов AOB и APB следует, что точки A, B, О и P лежат на одной окружности, значит, O лежит на окружности, описанной около треугольника ABP.

Ответ

Да, верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	9
задача
Номер	4.2