Задача 86872

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a .

Решение

Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC , L – середина BC , Q – центр вписанной сферы, r – её радиус. Поскольку DL BC и LM BC , линейный угол искомого двугранного угла между плоскостями ABC и DBC – это угол DLM . Обозначим его β . Так как DM – высота тетраэдра, то треугольник DLM – прямоугольный. В нём извествно, что DL = , LM = . Следовательно,

cos β = cos DLM = = = , sin β = .
Поскольку сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями ABC и DBC , её центр Q лежит в биссекторной плоскости этого угла. Проведём сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD и середину L противоположного ему ребра BC . Получим треугольник ALD , стороны AL и AD которого касаются окружности радиуса r с центром Q на высоте DM . Из прямоугольного треугольника LMQ находим, что
r = QM = LM tg QKM = · tg =

= · = · = .


Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , r – искомый радиус вписанной сферы. Центр сферы, вписанной в правильный тетраэдр, лежит на каждой из четырёх высот тетраэдра. Высоты правильного тетраэдра являются его медианами, а медианы любой треугольной пирамиды пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 , считая от вершины. Значит, центр вписанной сферы совпадает с точкой пересечения высот правильного тетраэдра, а радиус равен высоты тетраэдра. Следовательно,
r = a = .


Пусть r – радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a , V – объём тетраэдра, S – полная поверхность. Тогда
r = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7048