Задача 86899

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите радиус вписанной сферы.

Решение

Пусть M – центр основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCP . Центр O сферы радиуса r , вписанной в данную правильную пирамиду расположен на высоте PM , а сфера касается грани BPC в точке, лежащей на апофеме PL . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL . Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r , вписанной в угол ALP , причём OM = r . Обозначим через β угол боковой грани пирамиды с плоскостью её основания. Тогда

r = OM = LM tg OLM = · tg .
Из прямоугольного треугольника PML находим, что
tg β = = = 2.
Поскольку tg β = , имеем уравнение = 2 . Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения:
tg = .
Следовательно,
r = · tg = .

Ответ

r = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7075