|
|
 |
Условие
Сторона основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды
ABCDP равна a , а боковые рёбра равны 2a . Рассматриваются отрезки
с концами на ребрах AD и PC , параллельные плоскости PAB .
а) Один из этих отрезков проведён через точку M ребра AD
такую, что AM:AD = 3:4 . Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.
Решение
а) Через точку M проведём плоскость, параллельную плоскости
APB (рис.1). Пусть эта плоскость пересекает рёбра PD , PC и BC в точках
K , L и N соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных
плоскостей третьей KM || AP , KL || CD и LN || PB .
Отрезок ML лежит в плоскости, параллельной плоскости APB , поэтому ML
параллелен плоскости APB , а его концы лежат на прямых AD и PC .
Следовательно, ML – искомый отрезок.
Из подобия треугольников DMK и DAP , PKL и PDC , CNL и CBP
следует, что
Поскольку прямая MN параллельна плоскости CPD , а секущая плоскость проходит через MN и пересекает плоскость CPD по прямой KL , то MN || KL . В равнобедренной трапеции MKLN (рис.2) известны основания MN = a , KL =
Следовательно, ML = a . б) Пусть теперь XY – произвольный отрезок с концами на рёбрах AD и CP (рис.3). Спроектируем его на плоскость APB параллельно прямой AD . При этом точка X ребра AD перейдёт в точку A , а точка Y ребра CP – в некоторую точку Z ребра BP . Поскольку XY параллельно плоскости APB , AZ = XY . Отрезок AZ будет наименьшим, когда Z – основание высоты равнобедренного треугольника APB , опущенной из вершины A (рис.4). В этом случае BP· AZ = AB· PE , где E – середина AB . Отсюда находим, что
Ответ
Ю) a ; А) .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7085 |
