Задача 86911

Тема:    [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильном тетраэдре точки M и N – середины противоположных ребёр. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость, параллелльную прямой MN , является четырёхугольник с площадью S , один из углов которого равен 60^o . Найдите площадь поверхности тетраэдра.

Решение

Пусть ABCD – данный правильный тетраэдр (рис.1), M и N – середины его противоположных ребёр AB и CD соответственно. Будем считать, что плоскость, на которую проецируется тетраэдр, проходит через прямую MN . Ортогональные проекции вершин A , B , C и D на эту плоскость обозначим A1 , B1 , C1 и D1 соответственно. Тогда M – середина A1B1 , N – середина C1D1 . Известно, что отрезок, соединяющий середины противоположных ребёр правильного тетраэдра, перпендикулярен им. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах MN A1B1 и MN C1D1 . Значит, A1B1 || C1D1 , а четырёхугольник A1B1C1D1 – равнобедренная трапеция с основаниями A1B1 и C1D1 и острым углом 60^o (рис.2). Пусть C1 = D1 = 60^o . Если a – ребро правильного тетраэдра, то MN = . Если α – угол между прямой AB и плоскостью проекций, то поскольку AB CD , угол между прямой CD и плоскостью проекций равен 90^o-α . Поэтому

A1B1 = a cos α, C1D1 = a cos (90^o-α) = a sin α.
По условию задачи
(A1B1 + C1D1)· MN = S, или a2( sin α + cos α)· = S,
откуда
a2 = .
Осталось найти sin α + cos α . Для этого через точку B1 проведём прямую, параллельную MN , до пересечения с C1D1 в точке E . Тогда
EC1 = (C1D1 - A1B1) = ( sin α - cos α),

MN = B1E = EC1 tg 60^o.
Таким образом,
= ( sin α - cos α), или sin α - cos α = .
С помощью возведения в квадрат отсюда находим, что
2 sin α cos α = ,
поэтому
( sin α + cos α)2 = 1 + 2 sin α cos α = ,

sin α + cos α = .
Следовательно,
a2 = = S,
а полная поверхность тетраэдра равна
4· = a2 = 3S.

Ответ

3S .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7087