Задача 86917

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Вершины пирамиды KLMN расположены в точках пересечения медиан граней некоторой правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b . Найдите полную поверхность пирамиды KLMN .

Решение

Пусть K – центр основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD ; L , M и N – точки пересечения медиан боковых граней ADB , BDC и ADC соответственно; P , Q и R – середины сторон AB , BC и AC . В треугольнике PDQ точки L и M делят стороны DP и DQ в одном и том же отношении

= = 2.
Поэтому
LM = PQ = · AC = .
Аналогично MN = LN = . В треугольнике AQD точки K и M делят стороны AQ и DQ в одном и том же отношении
= = .
Поэтому KM = AD = . Аналогично KL = KN = . Таким образом, основание LMN треугольной пирамиды KLMN – равносторонний треугольник, а боковые рёбра KL , KM и KN равны между собой. Следовательно, это правильная пирамида со стороной основания и боковым ребром . Площадь её основания
S_{Δ LMN} = LM2· = .
Пусть KE – высота равнобедренного треугольника KLM (апофема пирамиды KLMN ). Тогда
KE = = = .
Значит,
S_{Δ KLM} = LM· KE = .
Следовательно, полная поверхность пирамиды KLMN равна
S_{Δ LMN} + 3S_{Δ KLM} = + = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7093