Задача 86921

Тема:    [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите радиус сферы, касающейся всех рёбер правильного тетраэдра с ребром a .

Решение

Достроим данный правильный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей (рис.1). Поскольку у полученного параллелепипеда диагонали каждой грани равны и перпендикулярны друг другу, этот параллелепипед – куб. Его ребро равно . Сфера, вписанная в этот куб, касается всех рёбер исходного правильного тетраэдра. Её радиус равен половине ребра куба, т.е. .

Пусть M – центр грани ABC правильного тетраэдра ABCD , а O – центр указанной сферы. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC , её проекция на плоскость грани ABC совпадает с точкой M , т.е. центр сферы лежит на высоте тетраэдра. Пусть r – искомый радиус, K – середина AB , N – середина AD . Тогда

KM = CK = , AM = , DM = = =a,

OM = = , OD = = .
Поскольку OM+OD = DM , имеем уравнение
+ = a,
из которого находим, что r= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7097