ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86931
Темы:    [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Прямые и плоскости в пространстве ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Решение



Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S (рис.1). Плоскости противоположных граней ASB и CSD пересекаются по прямой a , проходящей через точку S , а граней ASD и BSC – по прямой b , также проходящей через S . Через пересекающиеся прямые a и b проведём плоскость α . Любая плоскость, проведённая через произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении двух параллелльных плоскостей третьей противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это – параллелограмм.

Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S (рис.2). На прямой пересечения плоскостей ASC и BSD возьмём произвольную точку M . В плоскости ASC через точку M проведём прямую l , отрезок которой, заключённый внутри угла ASC делился бы точкой M пополам. Аналогично, в плоскости BSD через точку M проведём прямую m , отрезок которой, заключённый внутри угла BSD делился бы точкой M пополам. Тогда в сечении данного четырёхгранного угла плоскостью, проведённой через пересекающиеся прямые l и m , получится четырёхугольник, диагонали которого делятся их точкой пересеченния пополам, т.е. параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7107

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .