Условие
Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь
плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
Решение
Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S (рис.1).
Плоскости противоположных граней ASB и CSD пересекаются по прямой
a , проходящей через точку S , а граней ASD и BSC – по прямой b ,
также проходящей через S . Через пересекающиеся прямые a и b
проведём плоскость α . Любая плоскость, проведённая через
произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает
этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении
двух параллелльных плоскостей третьей противоположные стороны этого
четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это –
параллелограмм.
Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S (рис.2). На прямой
пересечения плоскостей ASC и BSD возьмём произвольную точку M .
В плоскости ASC через точку M проведём прямую l , отрезок которой,
заключённый внутри угла ASC делился бы точкой M пополам.
Аналогично, в плоскости BSD через точку M проведём прямую m , отрезок которой,
заключённый внутри угла BSD делился бы точкой M пополам. Тогда в сечении
данного четырёхгранного угла плоскостью, проведённой через пересекающиеся
прямые l и m , получится четырёхугольник, диагонали которого делятся их
точкой пересеченния пополам, т.е. параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7107 |
