Задача 86933

Тема:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 , считая от вершины.

Решение

Докажем, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3:1 , считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну и медиан тетраэдра в отношении 3:1 , считая от вершины, проходят остальные три медианы. Пусть M и N – точки пересечения медиан граней ABC и ABD тетраэдра ABCD , K – середина AB . Плоскость, проходящая через точки D , K и C , содержит точки M и N , причём стороны CK и DK треугольника DKC делятся этими точками в одном и том же отношении:

CM:MK = DN:NK = 2:1.
Из подобия треугольников KCD и KMN следует, что
CD:MN = KC:KM = 3:1.
Пусть отрезки DM и CN пересекаются в точке O . Из подобия треугольников DOC и MON следует, что
OD:OM = OC:ON = CD:MN = 3:1,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7110