Задача 86937

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Точки M , N , K – середины рёбер AB , BC и DD1 соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит ребро CC1 и диагональ DB1 ?

Решение

Продолжим отрезки MN и DC до пересечения в точке Q (рис.1). Точка Q лежит в секущей плоскости (т.к. она принадлежит прямой MN ) и в плоскости грани CDD1C1 (т.к. она принадлежит прямой DC , лежащей в этой плоскости). Следовательно, прямая QK является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани CDD1C1 . Обозначим через E точку пересечения этой прямой с ребром CC1 . Аналогично построим точку P пересечения прямой MN с плоскостью грани ADD1A1 и точку F пересечения секущей плоскости с ребром AA1 . Таким образом, искомое сечение – пятиугольник MNEKF . Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC , MN || AC (рис.2). Поэтому четырёхугольник AMQC – параллелограмм ( MQ || AC , AM || CQ ). Следовательно, QC = AM = AB = CD . Из подобия треугольников QCE и QDK следует, что

= = = .
Тогда
CE = DK = DD1 = CC1.
Следовательно, = . Пусть H – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD , L – точка пересечения отрезков MN и BD . Тогда L – середина BH ,
DL = DH + HL = BD + BD = BD.
Секущая плоскость пересекает плоскость параллелограмма BDD1B1 по прямой LK , поэтому точка O пересечения диагонали DB1 параллелепипеда с отрезком LK является точкой пересечения диагонали DB1 с секущей плоскостью. Пусть R – точка пересечения прямых LK и B1D1 , лежащих в плоскости параллелограмма BDD1B1 (рис.3). Из равенства треугольников D1KR и DKL следует, что
D1R = DL = BD = B1D1.
Поэтому
B1R = B1D1 + D1R = B1D1.
Из подобия треугольников LOD и ROB1 находим, что
= = = .

Ответ

1:5 ; 3:7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7114