|
|
 |
Условие
Через середины M и N рёбер соответственно AA1
и C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
проведена плоскость параллельно диагонали BD основания.
Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком
отношении она делит диагональ A1C ?
Решение
Продолжим среднюю линию NK треугольника B1C1D1 до
пересечения с прямой A1B1 в точке X , а с прямой
A1D1 в точке Y (рис.1). Пусть отрезки MX и ВВ1
пересекаются в точке L , а отрезки MY и DD1 — в точке
P . Тогда пятиугольник MLKNP — искомое сечение,
т.к. секущая плоскость содержит прямую KN , параллельную
D1B1 .
Пусть A1C1 и NK пересекаются в точке Q . Тогда
секущая плоскость и плоскость диагонального сечения
ACC1A1 пересекаются по прямой MQ ,
а точка O пересечения прямых A1C и MQ , лежащих
в плоскости диагонального сечения, — есть искомая точка
пересечения прямой A1C с секущей плоскостью.
Рассмотрим параллелограмм ACC1A1 (рис.2). Положим
AC=4x . Продолжим QM до пересечения с прямой AC в точке
T . Из равенства треугольников AMT и A1MQ следует,
что
Тогда CT = AT+AC = 3x+4x=7x , а т.к. треугольники A1OQ и COT подобны, то
Ответ
3:7, считая от вершины A1 .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7118 |
