Задача 86941

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Через середины M и N рёбер соответственно AA1 и C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость параллельно диагонали BD основания. Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит диагональ A1C ?

Решение

Продолжим среднюю линию NK треугольника B1C1D1 до пересечения с прямой A1B1 в точке X , а с прямой A1D1 в точке Y (рис.1). Пусть отрезки MX и ВВ1 пересекаются в точке L , а отрезки MY и DD1 — в точке P . Тогда пятиугольник MLKNP — искомое сечение, т.к. секущая плоскость содержит прямую KN , параллельную D1B1 .
Пусть A1C1 и NK пересекаются в точке Q . Тогда секущая плоскость и плоскость диагонального сечения ACC1A1 пересекаются по прямой MQ , а точка O пересечения прямых A1C и MQ , лежащих в плоскости диагонального сечения, — есть искомая точка пересечения прямой A1C с секущей плоскостью.
Рассмотрим параллелограмм ACC1A1 (рис.2). Положим AC=4x . Продолжим QM до пересечения с прямой AC в точке T . Из равенства треугольников AMT и A1MQ следует, что

AT = A1Q = A1C1 = · 4x = 3x.
Тогда CT = AT+AC = 3x+4x=7x , а т.к. треугольники A1OQ и COT подобны, то
= = = .

Ответ

3:7, считая от вершины A1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7118