Задача 86951

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Через середины M и N рёбер AD и CC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость параллельно диагонали DB1 . Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит ребро BB1 ?

Решение

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые AD и B1C1 . Проведём в этой плоскости через точку M прямую, параллельную DB1 . Пусть T – точка пересечения этой прямой с прямой C1B1 , K – точка пересечения прямой TN с ребром BB1 . Плоскость MNK параллельна прямой DB1 , поскольку она содержит прямую MT , параллельную DB1 . Пусть прямая KN пересекает прямую BC в точке S , прямая MS пересекает ребро CD в точке P , а прямую AB – в точке L , прямая LK пересекает ребро AA1 в точке Q . Тогда пятиугольник MPNKQ – искомое сечение. Обозначим AD = a . Тогда

TB1 = MD = .
Из равенства треугольников TNC1 и SNC следует, что
CS = TC1= B1C1 + TB1 = ,
а из подобия треугольников SBK и TB1K –
BK:KB1 = BS:TB1 = : = 5:1.

Ответ

5:1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7131