Задача 86953

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней ACD и ADB . На этих медианах взяты соответственно точки E и F , причём EF || BC . Найдите отношение EF:BC .

Решение

Проведём медиану DK треугольника ACD и медиану AL треугольника ABD . Пусть P и Q – точки пересечения медиан треугольников ACD и BCD соответственно. Тогда в треугольнике AML имеем:

= = , PQ || ML || BC.
Поэтому точка P совпадает с точкой E , а точка Q – с точкой F (если бы это было не так, то в плоскости, содержащей параллельные прямые EF и PQ , лежали бы скрещивающиеся прямые AM и DN ). Следовательно,
= = = · = .

Ответ

1:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7133