ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86955
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На ребре AD и диагонали A1C параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки M и N , причём прямая MN параллельна плоскости BDC1 и AM:AD = 1:5 . Найдите отношение CN:CA1 .

Решение

Пусть P – центр параллелограмма ABCD . Плоскости BDC1 и AA1C1C пересекаются по прямой C1P , поэтому прямые C1P и A1C пересекаются в некоторой точке Q , причём

= = = .

Поскольку прямая MN параллельна плоскости BDC1 , эта прямая лежит в плоскости α , проходящей через точку M параллельно плоскости BDC1 . По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей прямая MK пересечения плоскостей ABCD и α параллельна BD . Пусть точка K лежит на прямой AB , а прямые MK и AC пересекаются в точке E . Тогда
= = , = , = .

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и AA1C1C пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно PC1 . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой CA1 и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости BDC1 ). Рассмотрим параллелограмм AA1C1C . Так как
CQ = CA1, CN = CQ

то
CN = · CA1 = CA1.

Следовательно, = .

Ответ

3:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7135

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .