Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86955
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Построения на проекционном чертеже ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На ребре AD и диагонали A_1C параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости BDC_1 и AM:AD = 1:5. Найдите отношение CN:CA_1.

Решение

Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости BDC_1 и AA_1C_1C пересекаются по прямой C_1P, поэтому прямые C_1P и A_1C пересекаются в некоторой точке Q, причём CQQA1=CPA1C1=CPAC=12. Поскольку прямая MN параллельна плоскости BDC_1, эта прямая лежит в плоскости \alpha, проходящей через точку M параллельно плоскости BDC_1. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей прямая MK пересечения плоскостей ABCD и \alpha параллельна BD. Пусть точка K лежит на прямой AB, а прямые MK и AC пересекаются в точке E. Тогда AEAP=AMAD=15,AEAC=110,PCPE=54. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости \alpha и AA_1C_1C пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно PC_1. Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой CA_1 и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости BDC_1).

Рассмотрим параллелограмм AA_1C_1C. Так как CQ=13CA1,CN=95CQ, то CN=9513CA1=35CA1. Следовательно, \frac{CN}{CA_1}= \frac{3}{5}.


Ответ

3:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7135

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .