Задача 86955

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На ребре AD и диагонали A1C параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки M и N , причём прямая MN параллельна плоскости BDC1 и AM:AD = 1:5 . Найдите отношение CN:CA1 .

Решение

Пусть P – центр параллелограмма ABCD . Плоскости BDC1 и AA1C1C пересекаются по прямой C1P , поэтому прямые C1P и A1C пересекаются в некоторой точке Q , причём

= = = .
Поскольку прямая MN параллельна плоскости BDC1 , эта прямая лежит в плоскости α , проходящей через точку M параллельно плоскости BDC1 . По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей прямая MK пересечения плоскостей ABCD и α параллельна BD . Пусть точка K лежит на прямой AB , а прямые MK и AC пересекаются в точке E . Тогда
= = , = , = .
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и AA1C1C пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно PC1 . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой CA1 и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости BDC1 ). Рассмотрим параллелограмм AA1C1C . Так как
CQ = CA1, CN = CQ
то
CN = · CA1 = CA1.
Следовательно, = .

Ответ

3:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7135