Условие
На ребре $AD$ и диагонали $A_1C$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$
взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём прямая $MN$ параллельна плоскости
$BDC_1$ и $AM:AD = 1:5$. Найдите отношение $CN:CA_1$.
Решение
Пусть $P$ – центр параллелограмма $ABCD$. Плоскости $BDC_1$ и
$AA_1C_1C$ пересекаются по прямой $C_1P$, поэтому прямые $C_1P$ и $A_1C$ пересекаются в некоторой точке $Q$, причём
$$\frac{CQ}{QA_1} = \frac{CP}{A_1C_1} =\frac{CP}{AC} =\frac{1}{2}.$$
Поскольку прямая $MN$ параллельна плоскости $BDC_1$, эта прямая лежит в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $BDC_1$. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей прямая $MK$ пересечения плоскостей $ABCD$ и $\alpha$ параллельна $BD$.
Пусть точка $K$ лежит на прямой $AB$, а прямые $MK$ и $AC$ пересекаются в
точке $E$. Тогда
$$\frac{AE}{AP} = \frac{AM}{AD} =\frac{1}{5}, \frac{AE}{AC} =\frac{1}{10}, \frac{PC}{PE} =\frac{5}{4}.$$
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей
плоскости $\alpha$ и $AA_1C_1C$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $E$ параллельно $PC_1$. Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой $CA_1$ и есть точка $N$ (прямая $MN$ лежит в плоскости, параллельной
плоскости $BDC_1$).
Рассмотрим параллелограмм $AA_1C_1C$. Так как
$$CQ = \frac{1}{3} CA_1, CN = \frac{9}{5} CQ,$$
то
$$CN = \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3} CA_1 = \frac{3}{5} CA_1.$$
Следовательно, $\frac{CN}{CA_1}= \frac{3}{5}$.
Ответ
3
:5
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7135 |
