Задача 86955

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Построения на проекционном чертеже ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

На ребре $AD$ и диагонали $A_1C$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём прямая $MN$ параллельна плоскости $BDC_1$ и $AM:AD = 1:5$. Найдите отношение $CN:CA_1$.

Решение

Пусть $P$ – центр параллелограмма $ABCD$. Плоскости $BDC_1$ и $AA_1C_1C$ пересекаются по прямой $C_1P$, поэтому прямые $C_1P$ и $A_1C$ пересекаются в некоторой точке $Q$, причём $$\frac{CQ}{QA_1} = \frac{CP}{A_1C_1} =\frac{CP}{AC} =\frac{1}{2}.$$ Поскольку прямая $MN$ параллельна плоскости $BDC_1$, эта прямая лежит в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $BDC_1$. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей прямая $MK$ пересечения плоскостей $ABCD$ и $\alpha$ параллельна $BD$. Пусть точка $K$ лежит на прямой $AB$, а прямые $MK$ и $AC$ пересекаются в точке $E$. Тогда $$\frac{AE}{AP} = \frac{AM}{AD} =\frac{1}{5}, \frac{AE}{AC} =\frac{1}{10}, \frac{PC}{PE} =\frac{5}{4}.$$ По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости $\alpha$ и $AA_1C_1C$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $E$ параллельно $PC_1$. Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой $CA_1$ и есть точка $N$ (прямая $MN$ лежит в плоскости, параллельной плоскости $BDC_1$).

Рассмотрим параллелограмм $AA_1C_1C$. Так как $$CQ = \frac{1}{3} CA_1, CN = \frac{9}{5} CQ,$$ то $$CN = \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3} CA_1 = \frac{3}{5} CA_1.$$ Следовательно, $\frac{CN}{CA_1}= \frac{3}{5}$.

Ответ

3:5 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7135