Задача 86956

Темы:    [ Построения на проекционном чертеже ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан тетраэдр ABCD . В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней ABC , ABD и BCD , делит ребро BD ?

Решение

Пусть M , K и N – точки пересечения медиан треугольников ABC , ABD и BCD соответственно; CE , CF и BG – медианы треугольников BCD , ABC и ABD соответственно. Тогда

= = ,
поэтому MN || EF . Значит, прямая MN параллельна плоскости ABD . Плоскость KMN проходит через прямую MN , параллельную плоскости ABD , и пересекает эту плоскость по некоторой прямой a , проходящей через точку K . Значит, прямая a параллельна прямым MN , EF и AD . Пусть прямая a пересекает ребро BD в точке P . Тогда
= = .
Следовательно, = .

Ответ

1:2 , считая от точки D .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7136