Информация о задаче

Задача 86964

Тема:

[

Признаки перпендикулярности

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13, а диагонали боковых граней равны 4 $\sqrt{10}$ и 3 $\sqrt{17}$ . Найдите его объем.

Подсказка

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, в котором BD₁ = 13, AD₁ = 3 $\sqrt{17}$ , CD₁ = 4 $\sqrt{10}$ . Примените теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABD₁, BCD₁ и CDD₁.

Решение

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, в котором BD₁ = 13, AD₁ = 3 $\sqrt{17}$ , CD₁ = 4 $\sqrt{10}$ . Прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым AD и AA₁ плоскости AA₁D₁D, поэтому прямая AB перпендикулярна плоскости AA₁D₁D. Значит, AB $\perp$ AD₁. Аналогично докажем, что BC $\perp$ CD₁. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ABD₁, BCD₁ и CDD₁ находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{BD^{2} - AD^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{169 - 153}$ = $\displaystyle \sqrt{16}$ = 4,

BC = $\displaystyle \sqrt{BD^{2} - CD^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{169 - 160}$ = $\displaystyle \sqrt{9}$ = 3,

DD₁ = $\displaystyle \sqrt{CD^{2} - CD^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{CD^{2} - AB^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{160 - 16}$ = $\displaystyle \sqrt{144}$ = 12.

Следовательно,

V(ABCDA₁B₁C₁D₁) = AB^.BC^.DD₁ = 4^.3^.12 = 144.

Ответ

144.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7161