Задача 86966

Тема:    [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Боковые ребра пирамиды равны между собой. Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

Подсказка

Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.

Решение

Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD, в которой AD = BD = CD. Пусть DH - ее высота. Поскольку прямая DH перпендикулярна плоскости ABC, треугольники ADH, BDH и CDH прямоугольные. Они равны по катету и гипотенузе, поэтому AH = BH = CH. Следовательно, точка H - центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Для любой другой пирамиды доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7163