ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86967
Тема:    [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной c, и углом в 30o. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в 45o. Найдите объем пирамиды.


Подсказка


Докажите, что высота данной пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности, т.е. через середину гипотенузы треугольника основания.


Решение


Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, ABC - прямоугольный треугольник, в котором $ \angle$C = 90o, AB = c, $ \angle$A = 30o. Поскольку DH - перпендикуляр к плоскости ABC, отрезки AH, BH и CH - проекции наклонных AD, BD и CD на плоскость ABC. По условию

$\displaystyle \angle$DAH = $\displaystyle \angle$DBH = $\displaystyle \angle$DCH = 45o.

Прямоугольные треугольники DAH, DBH и DCH равны по катету и острому углу, поэтому AH = BH = CH и H - центр окружности, описанной около треугольника ABC, а т.к. этот треугольник прямоугольный, то H - середина гипотенузы AB. Далее находим

DH = AH . tg$\displaystyle \angle$DAH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c . tg45o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c, BC = AB . sin 30o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c,

AC = AB . cos 30o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c$\displaystyle \sqrt{3}$.

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(ABCD) . DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AC . DH =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c$\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$c = c3$\displaystyle \sqrt{3}$/48.


Ответ

c3$\displaystyle \sqrt{3}$/48.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7164

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .