Информация о задаче

Задача 86968

Тема:

[

Высота пирамиды (тетраэдра)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды - прямоугольник с диагональю, равной b, и углом в 60^o между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол в 45^o. Найдите объем пирамиды.

Подсказка

Докажите, что высота данной пирамиды проходит через точку пересечения диагонале прямоугольника основания.

Решение

Пусть прямоугольник ABCD - основание пирамиды PABCD, причем угол между диагоналями AC и BD равен 60^o, AC = BD = b. Если PH высота этой пирамиды, то из равенства прямоугольных треугольников APH, BPH, CPH и DPH по катету и остому углу следует, что точка H равноудалена от всех вершин прямоугольника ABCD, поэтому H - центр окружности, описанной около прямоугольника ABCD, т.е. точка пересечения его диагоналей.

Из прямоугольногно треугольника APH находим, что

PH = AH^.tg $\displaystyle \angle$ DAH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b^.tg45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b.

Следовательно,

V(PABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABCD)^.PH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD^.sin 60^{o .}PH =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b^.b^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b = b³ $\displaystyle \sqrt{2}$ /24.

Ответ

b³ $\displaystyle \sqrt{3}$ /24.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7165