|
|
 |
Условие
Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с
плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо
через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо
через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.
Подсказка
Докажите, что основание высоты данной пирамиды равноудалено от
прямых, на которых лежат стороны треугольника, лежащего в основании
пирамиды.
Решение
Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, боковые грани
ABD, BCD и ACD которой, образуют равные углы с плоскостью основания
ABC. Опустим перпендикуляры DM, DN и DK из вершины пирамиды на
прямые AB, BC и AC соответственно. Поскольку прямая DH
перпендикулярна плоскости ABC, HM, HN и HK - проекции наклонных DM,
DN и DK на плоскость ABC.
По теореме о трех перпендикулярах
HM AB,
HN
BC и
HK
AC,
поэтому DMH, DNH и DKH - линейные углы двугранных углов,
образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью ее основания.
По условию
DMH =
DNH =
DKH, значит, прямоугольные треугольники
DMH, DNH и DKH равны по катету и острому углу, поэтому
MH = NH = KH, т.е. точка H равноудалена от прямых AB, BC и AC. Следовательно,
H - либо центр вписанной, либо вневписанной окружности треугольника
ABC.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7167 |
