ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86970
Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.


Подсказка


Докажите, что основание высоты данной пирамиды равноудалено от прямых, на которых лежат стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды.


Решение


Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, боковые грани ABD, BCD и ACD которой, образуют равные углы с плоскостью основания ABC. Опустим перпендикуляры DM, DN и DK из вершины пирамиды на прямые AB, BC и AC соответственно. Поскольку прямая DH перпендикулярна плоскости ABC, HM, HN и HK - проекции наклонных DM, DN и DK на плоскость ABC.

По теореме о трех перпендикулярах HM $ \perp$ AB, HN $ \perp$ BC и HK $ \perp$ AC, поэтому DMH, DNH и DKH - линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью ее основания. По условию $ \angle$DMH = $ \angle$DNH = $ \angle$DKH, значит, прямоугольные треугольники DMH, DNH и DKH равны по катету и острому углу, поэтому MH = NH = KH, т.е. точка H равноудалена от прямых AB, BC и AC. Следовательно, H - либо центр вписанной, либо вневписанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7167

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .