2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)

   Решение

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.

Подсказка

Докажите, что основание высоты данной пирамиды равноудалено от прямых, на которых лежат стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Решение

Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, боковые грани ABD, BCD и ACD которой, образуют равные углы с плоскостью основания ABC. Опустим перпендикуляры DM, DN и DK из вершины пирамиды на прямые AB, BC и AC соответственно. Поскольку прямая DH перпендикулярна плоскости ABC, HM, HN и HK - проекции наклонных DM, DN и DK на плоскость ABC.

По теореме о трех перпендикулярах HM AB, HN BC и HK AC, поэтому DMH, DNH и DKH - линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью ее основания. По условию DMH = DNH = DKH, значит, прямоугольные треугольники DMH, DNH и DKH равны по катету и острому углу, поэтому MH = NH = KH, т.е. точка H равноудалена от прямых AB, BC и AC. Следовательно, H - либо центр вписанной, либо вневписанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования