Информация о задаче

Задача 86973

Тема:

[

Теорема о трех перпендикулярах

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды - параллелограмм ABCD с площадью m². Известно, что BD перпендикулярно AD. Двугранные углы при ребрах AD и BC равны 45^o, а при ребрах AB и CD - 60^o. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.

Решение

Пусть P - вершина пирамиды, PH - ее высота. Поскольку двугранные углы при ребрах AD и BC равны, точка H равноудалена от прямых AD и BC, а значит, лежит на средней линии параллелограмма ABCD, параллельной сторонам AD и BC. Аналогично докажем, что точка H лежит на средней линии параллелограмма ABCD, параллельной двум другим его сторонам. Поскольку средние линии параллелограмма пересекаются в его центре, H - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

По условию HD $\perp$ AD. Тогда по теореме о трех перпендикулярах PD $\perp$ AD, значит, HDP - линейный угол двугранного угла при ребре AD. Аналогично докажем, что HBP - линейный угол двугранного угла при ребре BC. Поэтому $\angle$ HDP = $\angle$ HBP = 45^o.

Пусть PKH - линейный угол при ребре AB. По условию $\angle$ PKH = 60^o. Треугольник AHB - ортогональная проекция грани APB на плоскость основания, поэтому

S(APB) = S(AHB)/cos $\displaystyle \angle$ PKH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ m²/( $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ m².

Аналогично находим, что

S(DPC) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ m², S(APD) = S(AHD)/cos 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ m² $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

S(BPC) = S(BHC)/cos 45^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ m² $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

S(APB) + S(DPC) + S(APD) + S(BPC) = m² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ m² $\displaystyle \sqrt{2}$ = m²(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ /2).

Обозначим PH = x, $\angle$ ABD = $\alpha$ . Тогда

BH = DH = PH = x, KH = PH^.ctg $\displaystyle \angle$ PKH = x^.ctg60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ x $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

sin $\displaystyle \alpha$ = sin $\displaystyle \angle$ ABD = KH/BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ x $\displaystyle \sqrt{3}$ /x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \sqrt{3}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{2/3}$ ,

tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ /2, AD = BD^.tg $\displaystyle \alpha$ = 2x^. $\displaystyle \sqrt{2}$ /2 = x $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Тогда

S(ABCD) = 2^.S(ABD) = AD^.BD = x $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.2x = 2x² $\displaystyle \sqrt{2}$ = m²,

откуда PH = x = m/ $\sqrt{2\sqrt{2}}$ .

Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S(ABCD)^.PH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ m^{2 .}m/ $\displaystyle \sqrt{2\sqrt{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ m³/ $\displaystyle \sqrt{2\sqrt{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ m³ $\displaystyle \sqrt[4]{2}$ .

Ответ

m²(1 + 1/ $\displaystyle \sqrt{2}$ ), m^{3 .} $\displaystyle \sqrt[4]{2}$ /6.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7170