Условие
Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из
боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6.
Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним
диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.
Решение
Пусть прямоугольник
ABCD со сторонами
AB = CD = 6
и
BC = AD =
8
– основание пирамиды
PABCD с высотой
PA = 6
. Опустим
перпендикуляр
AM на диагональ
BD . Поскольку
AP – перпендикуляр к
плоскости
ABCD ,
AM 
PA , значит
AM – общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых
PA и
BD .
AM – высота прямоугольного треугольника
ABD , проведённая из
вершины прямого угла, поэтому
BD· AM = AB· AD , откуда находим, что
AM = 
= 
= 
= 4,8.
Поскольку
AB – ортогональная проекция наклонной
PB на
плоскость
ABCD и
AB BC , по теореме о трёх перпендикулярах
PB
BC , поэтому треугольник
BCP прямоугольный. Аналогично докажем, что
треугольник
CDP также прямоугольный. Пусть
S – боковая поверхность
пирамиды
PABCD . Тогда
BP = 
= 6
,
DP = 
= 10,
S = SΔ ABP +SΔ ADP + SΔ BCP + SΔ CDP =
= 
AB· AP + AD· AP + BC· BP +
CD· DP =
= · 6· 6 + · 8· 6 +
· 8· 6 + · 6· 10 =
= 18 + 24 + 24 + 30 = 72 + 24.
Ответ
4
,8
;
72
+ 24
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7171 |
