ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86974
Тема:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.

Решение

Пусть прямоугольник ABCD со сторонами AB = CD = 6 и BC = AD = 8 – основание пирамиды PABCD с высотой PA = 6 . Опустим перпендикуляр AM на диагональ BD . Поскольку AP – перпендикуляр к плоскости ABCD , AM PA , значит AM – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PA и BD . AM – высота прямоугольного треугольника ABD , проведённая из вершины прямого угла, поэтому BD· AM = AB· AD , откуда находим, что

AM = = = = 4,8.

Поскольку AB – ортогональная проекция наклонной PB на плоскость ABCD и AB BC , по теореме о трёх перпендикулярах PB BC , поэтому треугольник BCP прямоугольный. Аналогично докажем, что треугольник CDP также прямоугольный. Пусть S – боковая поверхность пирамиды PABCD . Тогда
BP = = 6, DP = = 10,


S = SΔ ABP +SΔ ADP + SΔ BCP + SΔ CDP =


= AB· AP + AD· AP + BC· BP + CD· DP =


= · 6· 6 + · 8· 6 + · 8· 6 + · 6· 10 =


= 18 + 24 + 24 + 30 = 72 + 24.


Ответ

4,8 ; 72 + 24 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7171

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .