Задача 86977

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Куб ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите расстояние между прямыми BD1 и DC1 и постройте их общий перпендикуляр.

Решение

Опустим перпендикуляр NK из точки N пересечения диагоналей квадрата CC1D1D на диагональ BD1 куба (рис.1). Прямая DC1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD1 и BC плоскости BCD1 , поэтому KN DC1 . Значит NK – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и DC1 . В прямоугольном треугольнике BCD1 (рис.2) известно, что

BC = a, CD1 = a, BD1 = a, ND1 = ,

sin BD1C = = = .
Следовательно,
KN = ND1 sin BD1C = · = = .


Рассмотрим сечение куба плоскостью, проходящей через вершины A1 , D и C1 (рис.3). Ортогональная проекция B1D1 прямой BD1 на плоскость A1B1C1D1 перпендикулярна прямой A1C1 , поэтому BD1 A1C1 . Аналогично, BD1 A1D . Значит, прямая BD1 перпендикулярна плоскости A1DC1 . Кроме того, известно, что диагональ BD1 проходит через точку H пересечения медиан треугольника A1DC1 , поэтому прямая A1H пересекает отрезок DC1 в его середине N , а т.к. треугольник A1DC1 равносторонний, то A1N DC1 . Таким образом HN BD1 и HN DC1 , т.е. HN – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и DC1 . Поскольку треугольник A1DC1 равносторонний, а его сторона равна a , то
A1N = A1D· = .
Следовательно,
HN = A1N = .


Пусть N – точка пересечения диагоналей CD1 и DC1 квадрата CC1D1D , H – точка на диагонали BD1 куба, причём D1H = BD1 . Рассмотрим векторы = , = , = . Тогда
= - + + , = + ,

= + = + + =

= (- + + ) + - = + - ,

· = ( + - )· (- + + ) =

= - a2 + a2 - a2 = 0,

· = ( + - )· ( + ) = a2 - a2 = 0.
Следовательно, HN BD1 и HN DC1 . Поэтому HN – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и DC1 и
HN = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7174