Условие
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите расстояние
между прямыми BD1 и DC1 и постройте их общий перпендикуляр.
Решение

Опустим перпендикуляр NK из точки N пересечения диагоналей
квадрата CC1D1D на диагональ BD1 куба (рис.1). Прямая DC1 перпендикулярна
двум пересекающимся прямым CD1 и BC плоскости BCD1 , поэтому KN
DC1 . Значит NK – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и
DC1 .
В прямоугольном треугольнике BCD1 (рис.2) известно, что
BC = a, CD1 = a
, BD1 = a
, ND1 =
,
sin
BD1C =
=
=
.
Следовательно,
KN = ND1 sin
BD1C =
·
=
=
.

Рассмотрим сечение куба плоскостью, проходящей через вершины
A1
,
D и
C1
(рис.3). Ортогональная проекция
B1
D1
прямой
BD1
на плоскость
A1
B1
C1
D1
перпендикулярна прямой
A1
C1
,
поэтому
BD1
A1
C1
. Аналогично,
BD1
A1
D .
Значит, прямая
BD1
перпендикулярна плоскости
A1
DC1
.
Кроме того, известно, что диагональ
BD1
проходит через точку
H
пересечения медиан треугольника
A1
DC1
, поэтому прямая
A1
H
пересекает отрезок
DC1
в его середине
N , а т.к. треугольник
A1
DC1
равносторонний, то
A1
N
DC1
. Таким образом
HN
BD1
и
HN
DC1
, т.е.
HN – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
BD1
и
DC1
.
Поскольку треугольник
A1
DC1
равносторонний, а его сторона
равна
a
, то
A1N = A1D·
=
.
Следовательно,
HN =
A1N =
.

Пусть
N – точка пересечения диагоналей
CD1
и
DC1
квадрата
CC1
D1
D ,
H – точка на диагонали
BD1
куба, причём
D1
H =
BD1
.
Рассмотрим векторы
=
,
=
,
=
.
Тогда
= -
+
+
,
=
+
,
=
+
=
+
+ 
=
=
(-
+
+
) +
- 
=
+
- 
,
·
=
(
+
-
)· (-
+
+
) =
= -
a2 +
a2 -
a2 = 0,
·
=
(
+
-

)· (
+
) =
a2 -
a2 = 0.
Следовательно,
HN
BD1
и
HN
DC1
. Поэтому
HN – общий
перпендикуляр скрещивающихся прямых
BD1
и
DC1
и
HN =
=
=
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
web-сайт |
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
неизвестно |
Номер |
7174 |