Задача 86980

Тема:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через точку O – центр круга, вписанного в основание ABC пирамиды. Известно, что SAC = 60^o , SCA = 45^o , а отношение площади треугольника AOB к площади треугольника ABC равно . Найдите угол BSC .

Решение

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон AB , AC и BC в точках K , L и M соответственно. Прямоугольные треугольники OKS , OLS и OMC равны по двум катетам, поэтому SK = SL = SM . Поскольку OK AB , то по теореме о трёх перпендикулярах SK AB . Аналогично, SL AC и SM BC . Обозначим SK = SL = SM = h . Тогда

AK = AL = SL ctg 60^o = , CM = CL = SL ctg 45^o = h.
Обозначим OK = OL = OM = r , BK = BM = x . Тогда
S_{Δ AOB} = AB· OK = (AK + KB)· OK = ( + x)r,

S_{Δ ABC} = (AB + AC + BC)· OK = ( + 2h + 2x)r =

= ( + h + x)r.
По условию = 2 + , поэтому
= 2 + ,
откуда BK = BM = x = . Из прямоугольного треугольника BMS находим, что
tg BSM = = = ,
поэтому BSM = 30^o , а т.к. MCS = LCS = 45^o , то CSM = 45^o . Следовательно,
BSC = BSM + CSM = 30^o + 45^o = 75^o.

Ответ

75^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7177