Задача 86981

Тема:    [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основанием пирамиды SABCD является равнобедренная трапеция ABCD , в которой AB = BC = a , AD = 2a . Плоскости граней SAB и SCD перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если высота грани SAD , проведённая из вершины S , равна 2a .

Решение

Заметим, что AD и BC – основания трапеции ABCD , а AB и CD – её боковые стороны. Поскольку каждая из плоскостей SAB и SCD перпендикулярна плоскости ABCD , прямая пересечения плоскостей SAB и SCD перпендикулярна плоскости ABCD . Поэтому, если H – точка пересечения этой прямой с плоскостью ABCD , то SH – высота данной пирамиды. Пусть SM – высота треугольника ASD . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах HM AD , т.е. HM – высота равнобедренного треугольника AHD , а т.к. BC || AD и BC = AD , то BC – средняя линия треугольника AHD , значит AH = DH = 2a = AD . Треугольник AHD – равносторонний, поэтому

HM = AH sin 60^o = a.
Следовательно,
SH = = = a.

Ответ

a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7178