Задача 86982

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Куб ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Точка E – середина ребра AD . Вершины M и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой ED1 , а вершины P и Q – на прямой, проходящей через точку A1 и пересекающей прямую BC в точке R . Найдите а) отношение BR:BC ; б) расстояние между серединами отрезков MN и PQ .

Решение

Поскольку противоположные рёбра MN и PQ правильного тетраэдра перпендикулярны, перпендикулярны и содержащие их прямые ED1 и A1R . Опустим перпендикуляр RF из точки R на плоскость AA1D1D . Поскольку CD и AB – перпендикуляры к плоскости AA1D1D , RF || CD , поэтому точка F лежит на прямой AD . A1F – ортогональная проекция наклонной A1R на плоскость AA1D1D . По теореме о трёх перпендикулярах ED1 A1F . Рассмотрим плоскость AA1D1D . Пусть прямая A1F пересекается с прямыми DD1 и ED1 в точках G и K соответственно. Обозначим DD1E = GA1D1 = α . Тогда

tg α = = , cos α = ,

GD1 = A1D1 tg α = a, A1K = A1D1 cos α = ,
а из равенства прямоугольных треугольников DGF и D1GA1 следует, что DF = A1D1 = a . Следовательно,
= = 2.
Кроме того,
A1F = 2A1G = 2 = 2 = a.
Опустим перпендикуляр KH из точки K на прямую A1R . Прямая ED1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым A1R и A1F плоскости A1FR , поэтому KH ED1 . Значит KH – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ED1 и A1R , а т.к. отрезок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетраэдра, является общим перпендикуляром прямых, содержащих эти рёбра, то длина KH и есть искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1FR . Обозначим FA1R = β . Тогда
tg β = = = , cos β = , sin β = ,

HK = A1K sin β = · = = a.

Ответ

2:1 ; a .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7179