Задача 86983

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка K лежит на продолжении ребра BC на расстоянии, равном 9, от вершины C . Точка L ребра AB удалена от A на расстояние, равное 5. Точка M делит отрезок A1C1 в отношении 1:3 , считая от A1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки K , L , M .

Решение

Пусть прямая LK пересекает ребро CD в точке F (рис.1). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает основание A1B1C1D1 по прямой a , проходящей через точку M параллельно LF . Пусть прямая a пересекает прямые A1B1 и C1D1 в точках N и E соотвественно, а точки L1 , F1 и K1 – ортогональные проекции точек соответственно L , F и K на плоскость A1B1C1D1 . Обозначим BKL = B1K1L1 = α . Тогда

tg α = = = , C1F1 = CF = CK tg α = 9· = 3, cos α = .
Обозначим F1E = L1N = x (рис.2). Тогда
A1N = A1L1 - L1N = AL - L1N = 5 - x, C1E = C1F + F1E = 3 + x ,

= = , = ,
откуда находим, что L1N = x = 3 . Тогда C1E = 6 , A1N = 2 . Точки E и N лежат на сторонах C1D1 и A1B1 . Поэтому сечение данного куба плоскостью, проходящей через точки K , L и M , – параллелограмм LFEN . Опустим перпендикуляр LH из точки L на прямую NE (рис.1). Тогда LH – высота параллелограмма LFEN . По теореме о трёх перпендикулярах L1H NE . Из прямоугольного треугольника L1HN находим (рис.2), что
L1H = L1N cos NL1H = L1N cos α = 3· = .
Значит,
LH = = = .
Опустим перпендикуляр FP на AB . Тогда
LP = BL - BP = 7 - 3 = 4,

NE = LF = = = 4.
Следовательно,
S_LFEN = NE· LH = = 156.

Ответ

156.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7180