Задача 86984

Темы:    [ Векторное произведение ] [ Прямые и плоскости в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.

Решение

Пусть PA1A2 ... A_n – пирамида с вершиной P . Если около этой пирамиды можно описать сферу, то плоскость основания A1A2 ... A_n пересекается с этой сферой по окружности, в которую вписан многоугольник A1A2 ... A_n . Пусть около основания A1A2 ... A_n пирамиды PA1A2 ... A_n можно описать окружность с центром Q . Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин основания A1A2 ... A_n , есть прямая a , проходящая через точку Q перпендикулярно плоскости основания A1A2 ... A_n . Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от точек P и A1 , есть плоскость α , перпендикулярная отрезку PA1 и проходящая через его середину. Предположим, что прямая a параллельна плоскости α . Тогда прямая a перпендикулярна прямой PA1 , а значит, PA1 лежит в плоскости основания A1A2 ... A_n , что невозможно, т.к. точка P не лежит в плоскости основания пирамиды. Таким образом, прямая a и плоскость α пересекаются в некоторой точке O , равноудалённой от всех вершин пирамиды PA1A2 ... A_n . Следовательно, O – центр сферы, описанной около этой пирамиды.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7181