Задача 86985

Темы:    [ Векторное произведение ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной a . Высота пирамиды проходит через середину одной из сторон основания и равна . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение

Пусть O – центр сферы, описанной около данной пирамиды ABCD с высотой DK = , K – середина BC , R – радиус сферы, M – центр правильного треугольника ABC . Тогда точка O лежит на перпендикуляре к плоскости ABC , проходящем через точку M . Обозначим OM = x . Из прямоугольного треугольника OMA находим, что

R2 = AM2 + OM2 = ()2 + x2.
Прямые OM и DK перпендикулярны плоскости ABC , поэтому они параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. В этой плоскости рассмотрим прямоугольную трапецию ODKM , в которой
DK = , OD = R, OM = x, KM = AK = .
Опустим перпендикуляр ON на KD . В прямоугольном треугольнике DON
R2 = OD2 = ON2 + DN2 = KM2 + (DK - KN)2 =

= ()2 + ( - x)2 .
Таким образом, имеем уравнение
()2 + x2 = ()2 + ( - x)2,
откуда x = . Следовательно,
R = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7182