Задача 86988

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен трети произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.

Решение

Соединив центр O вписанного в n -угольную пирамиду шара радиуса r со всеми её вершинами, разобьём данную пирамиду на n+1 пирамиду, n из которых – треугольные, и одна – n -угольная. Высоты этих пирамид, проведённые из их общей вершины O , равны радиусу шара. Пусть V – объём исходной пирамиды, S1 , S2 ,... S_n – площади боковых граней, S0 – площадь основания, S – площадь полной поверхности. Тогда

V = S0· r + S1· r + S2· r +...+ S_n· r =

= (S0 + S1+ S2+...+ S_n)· r = S· r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7185