Задача 86989

Темы:    [ Скалярное произведение ] [ Векторы (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высота PO правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равна 4, а сторона основания ABCD равна 6. Точки M и K – середины отрезков BC и CD . Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду PMKC .

Решение

MK – средняя линия треугольника BCD , поэтому

S_{Δ CMK} = S_{Δ BCD} = · S_ABCD = · 36 = ,

V_PMKC = V_PABCD = · S_ABCD· PO = · · 36· 4 = 6.
Пусть N – точка пересечения AC и MK . Тогда ON MK , а по теореме о трёх перпендикулярах PN MK , т.е. PN – высота треугольника PMK . По теореме Пифагора находим, что
PN = = =

= = = ,

PK = = = 5.
Пусть S – полная поверхность пирамиды PMKC , r – искомый радиус. Тогда
S = 2S_{Δ PKC} + S_{Δ PMK} + S_{Δ CMK} = 2· CK· PK + MK· PN + =

= 15 + · 3· + = (39 + 3).
Следовательно,
r = = =

= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7186