Задача 86999

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Все рёбра правильной треугольной призмы равны a . Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через ребро основания и середину не параллельного ему ребра другого основания.

Решение

Пусть M – середина стороны B1C1 основания A1B1C1 данной правильной призмы ABCA1B1C1 . Поскольку секущая плоскость проходит через прямую AB , параллельную плоскости грани A1B1C1 , она пересекает плоскость верхнего основания A1B1C1 по прямой, параллельной AB , а значит, и A1B1 . Тогда прямая пересечения этих плоскостей проходит также через середину N отрезка A1C1 . Поэтому MN – средняя линия треугольника A1B1C1 . Искомое сечение – равнобедренная трапеция ANMB с основаниями AB и MN , AB = a , MN = a . Пусть K и L – середины MN и AB соответственно, P – ортогональная проекция точки L на плоскость основания A1B1C1 . Тогда P – середина A1B1 . Высоту KL трапеции ANMB находим из прямоугольного треугольника PKL :

LP = A1A = a, KP = C1P = ,

KL = = = .
Следовательно,
S_ANMB = (AB + MN)· KL = · a· = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7203