Задача 87002

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через вершину D правильного тетраэдра ABCD с ребром a и середины рёбер AB и AC проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

Решение

Пусть M и N – середины рёбер AB и AC соответственно. Полученное сечение – равнобедренный треугольник DMN (равенство DM = DN следует из равенства треугольников ADM и ADN ). Пусть O – центр правильного треугольника ABC (тогда DO – высота тетраэдра ABCD ), K – точка пересечения отрезка MN с медианой AL треугольника ABC . Тогда K – середина отрезков MN и AL , DK – высота треугольника DMN , а т.к.

AO = AL = · a = a,

OK = AO - AK = a - a = ,

DO = = = a,
то из прямоугольного треугольника DOK находим, что
DK = = = .
Следовательно,
S_{Δ DMN} = MN· KD = a· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7206