Задача 87006

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Угол между противоположными рёбрами AB и CD пирамиды ABCD равен α , AB = a , CD = b . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BC параллельно прямым AB и CD .

Решение

Пусть K – середина BC , а секущая плоскость пересекает рёбра AC , AD и BD в точках L , M и N соответственно. Плоскость BCD проходит через прямую CD , параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K , поэтому прямая пересечения этих поскостей параллельна прямой CD . Значит, KN – средняя линия треугольника BCD . Аналогично, KL , ML и MN – средние линии треугольников ABC , ADC и ABD соответственно. Таким образом, сечение KLMN – параллелограмм со сторонами a , b и углом между ними, равным углу между скрещивающимися прямыми AB и CD , т.е. α . Следовательно,

S_KLMN = KL· KN sin α = a· b· sin α = ab sin α.

Ответ

ab sin α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7210