ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 87007
Условие
Подсказка
Решение
Поскольку секущая плоскость и плоскость боковой грани DSC проведены через параллельные прямые AB и CD соответственно и имеют общую точку N, эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым AB и CD и проходящей через точку N. Пусть M - точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD. Тогда точка M - середина SD, поэтому MN - средняя линия треугольника DSC, MN = DC = a. Полученный в сечении четырехугольник ABNM - равнобедренная трапеция (равенство AM = BN следует из равенства треугольников BNC и AMD). Найдем высоту этой трапеции. Пусть Q и L - середины отрезков CD и AB, R - точка пересечения апофемы SQ с отрезком MN, O - центр основания данной пирамиды, P - ортогональная проекция точки R на плоскость основания ABCD. Тогда RP - средняя линия прямоугольного треугольника SOQ, SO - высота равнобедренного прямоугольного треугольника ASC(AS = SC = a, AC = = a). Поэтому
SO = OC = a, RP = SO = a,
OP = OQ = a, LP = LO + OP = a + a = a.
Высоту LR трапеции ABNM находим по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника LPR :
LR = = = a.
Следовательно,
S(ABNM) = (AB + MN) . LR = a . a = 3a2/16.
Ответ
3a2/16.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|