ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87008
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Центр масс ]
[ Параллелепипеды (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится ими на три равные части.


Решение


Первый способ.
Пусть O и O1 - точки пересечения диагоналей оснований ABCD и A1B1C1D1, P - точка пересечения отрезков AC1 и A1O (лежащих в плоскости AA1C1C), Q - отрезков AC1 и CO1. Тогда A1O - медиана треугольника A1BD, CO1 - медиана треугольника CB1D1.

Из подобия треугольников AOP и C1A1P следует, что

OP/A1P = AO/C1A1 = AO/AC = 1/2.

Следовательно, P - точка пересечения медиан треугольника A1BD. Кроме того, AP/PC1 = AO/C1A1 = 1/2, т.е. AP = $ {\frac{1}{3}}$AC1.

Аналогично докажем, что Q - точка пересечения медиан треугольника CB1D1 и C1Q = $ {\frac{1}{3}}$AC1. Следовательно,

AP = C1Q = PQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$AC1,

что и требовалось доказать.


Второй способ.
Приведем решение с помощью векторов. Воспользуемся следующим известным фактом. Если M - точка пересечения медиан треугольника XYZ, а T - произвольная точка пространства, то

$\displaystyle \overline{TM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{TX}$ + $\displaystyle \overline{TY}$ + $\displaystyle \overline{TZ}$).

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника BDA1. Тогда

$\displaystyle \overline{AM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$($\displaystyle \overline{AB}$ + $\displaystyle \overline{AD}$ + $\displaystyle \overline{AA_{1}}$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \overline{AC_{1}}$.

Поэтому векторы $ \overline{AM}$ и $ \overline{AC_{1}}$ коллинеарны. Следовательно, точка M лежит на прямой AC1 и AP = $ {\frac{1}{3}}$AC1. Аналогично для треугольника CB1D1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7212

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .