Информация о задаче

Задача 87009

Темы:	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Площадь сечения	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Через середину ребра AB куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным a, проведена плоскость, параллельная прямым BD₁ и A₁C₁.

1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ DB₁?

2) Найдите площадь полученного сечения.

Решение

1) Пусть M - середина AB. Плоскость грани ABCD имеет с секущей плоскостью общую точку M и проходит через прямую AC, параллельную секущей плоскости (т.к. AC || A₁C₁). Поэтому прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку M параллельно AC. Если N - точка пересечения этой прямой с ребром BC, то MN - средняя линия треугольника ABC.

Пусть F - точка пересечения прямых MN и BD. Плоскость прямоугольника BB₁D₁D имеет с секущей плоскостью общую точку F и проходит через прямую BD₁, параллельную секущей плоскости. Поэтому прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку F параллельно BD₁. Пусть эта прямая пересекает ребро DD₁ в точке K, а диагональ DB₁ - в точке T. Тогда T - точка пересечения секущей плоскости с диагональю DB₁.

Пусть G - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, O - точка пересечения диагоналей куба. Поскольку F - середина отрезка BG, DF/BD = 3/4, а т.к. FT || BO, то DT/DO = DF/DB = 3/4. Поэтому

DT/DB₁ = DT/(2^.DO) = (DT/DO)/2 = 3/8.

Следовательно, DT/TB₁ = 3/5.

2) Ясно, что угол $\alpha$ между секущей плоскостью и плоскостью основания A₁B₁C₁D₁ равен углу BD₁B₁. Тогда cos $\alpha$ = B₁D₁/BD₁ = $\sqrt{2/3}$ .

Пусть M₁ и N₁ - ортогональные проекции точек M и N на плоскость основания A₁B₁C₁D₁. Тогда M₁ и N₁ - середины отрезков A₁B₁ и B₁C₁ соответственно, а пятиугольник A₁M₁N₁C₁D₁ - ортогональная проекция пятиугольника сечения на плоскость основания A₁B₁C₁D₁.

Поскольку M₁N₁ - средняя линия треугольника A₁B₁C₁,

S(M₁B₁N₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S(A₁B₁C₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S(A₁B₁C₁D₁),а

S(A₁M₁N₁C₁D₁) = (7/8)^.S(A₁B₁C₁D₁) = 7a²/8.

Следовательно, искомая площадь равна

S(A₁M₁N₁C₁D₁)/cos $\displaystyle \alpha$ = (7a²/8)^. $\displaystyle \sqrt{3/2}$ = 7a² $\displaystyle \sqrt{6}$ /16.

Ответ

3/5;7a² $\displaystyle \sqrt{6}$ /16.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7213