ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87009
Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Площадь сечения ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Через середину ребра AB куба ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным a, проведена плоскость, параллельная прямым BD1 и A1C1.

1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ DB1?

2) Найдите площадь полученного сечения.


Решение


1) Пусть M - середина AB. Плоскость грани ABCD имеет с секущей плоскостью общую точку M и проходит через прямую AC, параллельную секущей плоскости (т.к. AC || A1C1). Поэтому прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку M параллельно AC. Если N - точка пересечения этой прямой с ребром BC, то MN - средняя линия треугольника ABC.

Пусть F - точка пересечения прямых MN и BD. Плоскость прямоугольника BB1D1D имеет с секущей плоскостью общую точку F и проходит через прямую BD1, параллельную секущей плоскости. Поэтому прямая пересечения этих плоскостей проходит через точку F параллельно BD1. Пусть эта прямая пересекает ребро DD1 в точке K, а диагональ DB1 - в точке T. Тогда T - точка пересечения секущей плоскости с диагональю DB1.

Пусть G - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, O - точка пересечения диагоналей куба. Поскольку F - середина отрезка BG, DF/BD = 3/4, а т.к. FT || BO, то DT/DO = DF/DB = 3/4. Поэтому

DT/DB1 = DT/(2 . DO) = (DT/DO)/2 = 3/8.

Следовательно, DT/TB1 = 3/5.

2) Ясно, что угол $ \alpha$ между секущей плоскостью и плоскостью основания A1B1C1D1 равен углу BD1B1. Тогда cos$ \alpha$ = B1D1/BD1 = $ \sqrt{2/3}$.

Пусть M1 и N1 - ортогональные проекции точек M и N на плоскость основания A1B1C1D1. Тогда M1 и N1 - середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно, а пятиугольник A1M1N1C1D1 - ортогональная проекция пятиугольника сечения на плоскость основания A1B1C1D1.

Поскольку M1N1 - средняя линия треугольника A1B1C1,

S(M1B1N1) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$S(A1B1C1) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$S(A1B1C1D1),а

S(A1M1N1C1D1) = (7/8) . S(A1B1C1D1) = 7a2/8.

Следовательно, искомая площадь равна

S(A1M1N1C1D1)/cos$\displaystyle \alpha$ = (7a2/8) . $\displaystyle \sqrt{3/2}$ = 7a2$\displaystyle \sqrt{6}$/16.


Ответ

3/5;7a2$\displaystyle \sqrt{6}$/16.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7213

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .