Информация о задаче

Задача 87011

Темы:	[	Площадь сечения	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В правильной шестиугольной пирамиде, у которой боковые стороны - квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Найдите площадь построенного сечения, если сторона основания равна a.

Решение

Предположим, что указанная плоскость проходит через стороны AF и D₁C₁ оснований ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ призмы ABCDEFA₁A₁B₁C₁D₁E₁F₁(AA₁ || BB₁ || CC₁ || DD₁ || EE₁ || FF₁).

Пусть P - точка пересечения прямых AF и DE, лежащих в плоскости нижнего основания призмы. Поскольку точка P лежит на прямой AF, а прямая AF лежит в секущей плоскости, то P принадлежит секущей плоскости. С другой стороны, точка P лежит в плоскости грани D₁E₁ED (т.к. она лежит на прямой DE, принадлежащей этой плоскости). Следовательно, прямая D₁P лежит в плоскости грани D₁E₁ED и в секущей плоскости. Тогда секущая плоскость пересекает ребро EE₁ в точке M - точке пересечения прямых D₁P и EE₁.

Поскольку PE = ED = E₁D₁ и PE || E₁D₁, M - середина ребра EE₁. Аналогично докажем, что секущая плоскость пересекает ребро BB₁ в его середине N. Таким образом, искомое сечение - шестиугольник ANC₁D₁MF.

Заметим, что DF $\perp$ AF и DF - ортогональная проекция отрезка D₁F не плоскость нижнего основания. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах D₁F $\perp$ AF. В прямоугольном треугольнике D₁DF

DF = a $\displaystyle \sqrt{DF^{2} + DD ^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{3a^{2} + a^{2}}$ = 2a.

Все углы треугольника PEF равны по 60^o. Следовательно, этот треугольник равносторонний, поэтому PF = EF = a. Аналогично AQ = = AB = a(Q - точка пересечения прямых AF и CB).

Высота h треугольника PMF, опущенная из вершины M, вдвое меньше отрезка D₁F, поэтому

S(PMF) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ PF^.h = = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a².

Аналогично S(ANQ) = ${\frac{1}{2}}$ a².

Искомая плошадь равна разности площади трапеции PD₁C₁Q и площадей треугольников PMF и ANQ, т.е.

S(ANC₁D₁MF) = S(PD₁C₁Q) - S(PMF) - S(ANQ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (PQ + D₁C₁)^.D₁F - a² = 4a^.a - a² = 3a².

Ответ

3a².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7215