Информация о задаче

Задача 87013

Темы:	[	Площадь сечения	]
Темы:	[	Параллельность прямых и плоскостей	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна a, боковое ребро равно b. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD параллельно прямой AS.

Подсказка

Секущая плоскость пересекается с плоскостью ASC по прямой, проходящей через центр квадрата ABCD параллельно боковому ребру AS. В сечении получится равнобедренный треугольник.

Решение

Плоскость треугольника ASC имеет с секущей плоскостью общую точку O (точка пересечения диагоналей квадрата ABCD) и проходит через прямую AS, параллельную секущей плоскости. Поэтому она пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной AS и проходящей через точку O.

Пусть эта прямая пересекает ребро SC в точке M. Поскольку O - середина AC, OM - средняя линия треугольника ASC, OM = ${\frac{1}{2}}$ AS = ${\frac{1}{2}}$ b. Искомое сечение - равнобедренный треугольник BMD (равенство BM = DM следует из равенства треугольников BMC и DMC).

Поскольку MO высота треугольника BMD,

S(BMD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BD^.OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ a $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

ab $\displaystyle \sqrt{2}$ /4.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7217