Условие
Сторона основания
ABCD правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD равна
a , боковое ребро равно
b . Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра
AB параллельно
прямым
BD и
AS .
Решение
Пусть
M – середина
AB . Секущая плоскость параллельна прямой
BD , лежащей в плоскости основания
ABCD , и имеет с плоскостью
основания общую точку
M . Поэтому плоскость основания пересекает
секущую плоскость по прямой, проходящей через точку
M параллельно
BD .
Если
N – точка пересечения этой прямой с ребром
AD , а
O –
центр основания
ABCD , то
N – середина
AD ,
MN – средняя линия
треугольника
ADB , а точка
R пересечения
MN и
AC – середина
AO .
Секущая плоскость пересекается с плоскостью треугольника
ASC
по прямой, параллельной
AS и проходящей через точку
R .
Пусть эта прямая пересекает боковое ребро
SC в точке
K . Из
подобия треугольников
RKC и
ASC следует, что
=
= 
. Поэтому
RK = AS = b .
Поскольку секущая плоскость проходит через прямую
RK ,
параллельную
AS , а следовательно, и плоскостям граней
ASB и
ASD ,
она пересекает эти плоскости по прямым, параллельным
AS и
проходящим через точки
M и
N соответственно, т.е. по средним линиям
треугольников
ASB и
ASD .
Пусть
F и
E – середины
SB и
SD . Тогда искомое сечение –
пятиугольник
MNEKF , а
MF = NE = 
b .
Поскольку
NE || AS и
MN || BD, а
AS 
BD (по теореме о трёх
перпендикулярах), то
NE MN . Аналогично
MF MN . Следовательно,
RN
и
RM – высоты прямоугольных трапеций
RNEK и
RMFK . Тогда
SMNEKF = 2SRNEK = 2· (RK + NE)· NR =
= (RK + NE)· NR = ( b + b)·
a
= 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7222 |
