Условие
Основание четырёхугольной пирамиды
SABCD – параллелограмм
ABCD .
1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
середину ребра
AB параллельно плоскости
SAD .
2) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани
SAD
равна 16.
Решение
1) Пусть
M – середина ребра
AB . По теореме о пересечении двух
параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает
плоскость грани
ASB по прямой, параллельной
AS , т.е. по средней
линии
MN треугольника
ASB . Аналогично, секущая
плоскость пересекает грани
ABCD и
CSD по прямым, параллельным
AD и
SD соответственно. Тогда точки
N ,
L и
K пересечения секущей
плоскости с рёбрами
SB ,
CD и
SC – середины отрезков
SB ,
CD и
SC соответственно, а искомое сечение – трапеция
MNKL .
2) Пусть прямые
MN и
LK , лежащие в секущей плоскости,
пересекаются в точке
Q . Тогда точка
Q лежит на прямой пересечения
плоскостей
ASB и
CSD , проведённых через две параллельные прямые
AB
и
CD , т.е. на прямой, проходящей через точку
S параллельно прямым
AB и
CD .
Треугольник
MQL равен треугольнику
ASD (по трём сторонам), а
NK – средняя линия треугольника
MQL (т.к.
NK || ML и
NK = 
BC = ML ).
Треугольник
NQK подобен треугольнику
MQL с коэффициентом
,
поэтому
SΔ NQK = 
SΔ MQL = SΔ ASD =
= 4.
Следовательно,
SMNKL = SΔ MQL - SΔ NQK = 16 - 4 = 12.
Ответ
12.00
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7223 |
