Задача 87016

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Тетраэдр и пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание четырёхугольной пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD . 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости SAD . 2) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани SAD равна 16.

Решение

1) Пусть M – середина ребра AB . По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает плоскость грани ASB по прямой, параллельной AS , т.е. по средней линии MN треугольника ASB . Аналогично, секущая плоскость пересекает грани ABCD и CSD по прямым, параллельным AD и SD соответственно. Тогда точки N , L и K пересечения секущей плоскости с рёбрами SB , CD и SC – середины отрезков SB , CD и SC соответственно, а искомое сечение – трапеция MNKL . 2) Пусть прямые MN и LK , лежащие в секущей плоскости, пересекаются в точке Q . Тогда точка Q лежит на прямой пересечения плоскостей ASB и CSD , проведённых через две параллельные прямые AB и CD , т.е. на прямой, проходящей через точку S параллельно прямым AB и CD . Треугольник MQL равен треугольнику ASD (по трём сторонам), а NK – средняя линия треугольника MQL (т.к. NK || ML и NK = BC = ML ). Треугольник NQK подобен треугольнику MQL с коэффициентом , поэтому

S_{Δ NQK} = S_{Δ MQL} = S_{Δ ASD} = = 4.
Следовательно,
S_MNKL = S_{Δ MQL} - S_{Δ NQK} = 16 - 4 = 12.

Ответ

12.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7223