Задача 87018

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Параллелепипеды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки M , N и K лежат на рёбрах соответственно BC , AA1 и C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение

Рассмотрим случай, когда ни одна из точек M , N , K не совпадает с вершиной параллелепипеда. Построим сначала точку P пересечения прямой MN с плоскостью грани A1B1C1D1 . Для этого проведём вспомогательную плоскость через прямую AA1 и точку M . Эта плоскость имеет с плоскостью грани BB1C1C общую точку M и проходит через прямую AA1 , параллельную плоскости грани BB1C1C (т.к. AA1 || BB1 ). Следовательно, прямая пересечения этих плоскостей параллельна AA1 . Пусть M1 – точка пересечения этой прямой с ребром B1C1 , P – точка пересечения прямых MN и M1A1 , лежащих во вспомогательной плоскости. Поскольку прямая M1A1 лежит в плоскости основания A1B1C1D1 , P – искомая точка пересечения прямой MN с плоскостью этого основания. Прямая PK является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани A1B1C1D1 , а точка E пересечения этой прямой с ребром A1D1 – вершина искомого многоугольника сечения. Продолжив отрезки EN и AD , лежащие в плоскости грани AA1D1D , до их взаимного пересечения, получим точку Q , в которой секущая плоскость пересекает плоскость грани ABCD . Тогда точка F пересечения прямых QM и AB также является вершиной многоугольника сечения. Аналогично находим точку H пересечения секущей плоскости с ребром CC1 . Таким образом, искомое сечение – шестиугольник MFNEKH .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7225