Условие
Точки M , N и K лежат на рёбрах соответственно BC , AA1
и C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Постройте
сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.
Решение
Рассмотрим случай, когда ни одна из точек M , N , K не совпадает
с вершиной параллелепипеда. Построим сначала точку P пересечения
прямой MN с плоскостью грани A1B1C1D1 . Для этого проведём
вспомогательную плоскость через прямую AA1 и точку M . Эта плоскость
имеет с плоскостью грани BB1C1C общую точку M и проходит через
прямую AA1 , параллельную плоскости грани BB1C1C (т.к. AA1
|| BB1 ). Следовательно, прямая пересечения этих плоскостей
параллельна AA1 .
Пусть M1 – точка пересечения этой прямой с ребром B1C1 , P –
точка пересечения прямых MN и M1A1 , лежащих во вспомогательной
плоскости. Поскольку прямая M1A1 лежит в плоскости основания
A1B1C1D1 , P – искомая точка пересечения прямой MN с
плоскостью этого основания.
Прямая PK является прямой пересечения секущей плоскости с
плоскостью грани A1B1C1D1 , а точка E пересечения этой прямой с
ребром A1D1 – вершина искомого многоугольника сечения.
Продолжив отрезки EN и AD , лежащие в плоскости грани AA1D1D ,
до их взаимного пересечения, получим точку Q , в которой секущая
плоскость пересекает плоскость грани ABCD . Тогда точка F
пересечения прямых QM и AB также является вершиной многоугольника
сечения. Аналогично находим точку H пересечения секущей плоскости с
ребром CC1 . Таким образом, искомое сечение – шестиугольник MFNEKH .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7225 |
