Задача 87019

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через середину диагонали куба проведена плоскость, перпендикулярная этой диагонали. Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно a .

Решение

Через середину O диагонали DB1 куба ABCDA1B1C1D1 проведём плоскость, перпендикулярную DB1 . Рассмотрим прямую пересечения этой плоскости с плоскостью диагонального сечения BB1D1D . Пусть прямая пересечения пересекает сторону BD прямоугольника BB1D1D в точке P , а сторону B1D2 – в точке Q . Тогда PQ DB1 . Из подобия прямоугольных треугольников DOP и DBB1 находим, что = , откуда

PD = DO· = · = ,
значит, точка P делит диагональ BD квадрата ABCD в отношении = . Если L – центр квадрата ABCD , то
BP = BD = · 2BL = BL,
т.е. P – середина BL . Секущая плоскость пересекается с плоскостью ABCD по прямой, проходящей через точку P . Пусть F и M – точки пересечения этой прямой с AB и BC . Тогда FM DB1 , т.к. прямая FM лежит в плоскости, перпендикулярной DB1 . Прямая BD – ортогональная проекция DB1 на плоскость ABCD , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах FM BD , а т.к. AC BD , то FM || AC . Кроме того, прямая FM проходит через середину P отрезка BL , значит, FM – средняя линия треугольника ABC . Следовательно, FM = AC = . Аналогично, секущая плоскость пересекает остальные грани куба ABCDA1B1C1D1 по средним линиям соответствующих треугольников. Значит, сечение куба данной плоскостью – шестиугольник, все стороны которого равны . Все углы этого шестиугольника равны по 120^o , т.к. его стороны соответственно параллельны диагоналям граней куба. Площадь такого шестиугольника в шесть раз больше площади равностороннего треугольника со сторонами, равными , т.е. равна
6· · ()2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7226