Задача 87021

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . На лучах C1C , C1B1 и C1D1 отложены соответственно отрезки C1M , C1N и C1K , равные a . Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точки M , N , K и найдите площадь полученного сечения.

Решение

Прямые MK и CD лежат в плоскости грани DCC1D1 . Точка F их пересечения лежит в секущей плоскости (т.к. она принадлежит прямой MK , лежащей в этой плоскости) и в плоскости грани ABCD (т.к. она принадлежит прямой CD ). Следовательно, точка F расположена на прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ABCD . Аналогично, точка E пересечения прямых BC и MN также расположена на прямой пересечения этих плоскостей. Таким образом, секущая плоскость пересекает плоскость грани ABCD по прямой EF . Из подобия треугольников MCF и MC1K следует, что

= = = = ,

CF = C1K = · = a,

DF = CF - CD = a - a = a.
Аналогично, CE = a , BE = a . Следовательно, EF || BD . Пусть P и Q – точки пересечения прямой EF с рёбрами AB и AD . Тогда четырёхугольник BPFD – параллелограмм. Поэтому BP = DF = a . Аналогично, DQ = BE = a . Следовательно, P и Q – середины AB и AD . Поэтому PQ – средняя линия треугольника ABD , PQ = BD = . Точно так же построим точку R пересечения секущей плоскости с ребром AA1 и докажем, что R – середина AA1 и QR = PR = . Таким образом, построенное сечение – равносторонний треугольник PQR со стороной . Следовательно,
S_{Δ PQR} = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7228