Задача 87029

Темы:    [ Площадь сечения ] [ Объем (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Объём пирамиды ABCD равен 5. Через середины рёбер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M . При этом DM:MC = 2:3. Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от неё до вершины A равно 1.

Решение

Поскольку секущая плоскость проходит через середины противоположных рёбер тетраэдра, она делит его объём пополам. Пусть секущая плоскость пересекает ребро AB в точке K , а P и Q – середины рёбер AD и BC . Тогда объём многогранника PMQKAC равен . С другой стороны, он равен сумме объёмов четырёхугольной пирамиды APMKQ и треугольной пирамиды AMCQ с общей вершиной A , а т.к.

V_AMCQ = · V_ABCD = · V_ABCD = · · 5 = ,
то
V_APMQK = V_PMQKAC - V_AMCQ = - = 1.
С другой стороны, если h – расстояние от вершины A до секущей плоскости, то
V_APMQK = S_PMQK· h,
поэтому S_PMQK· h = 1 , откуда находим, что
S_PMQK = = 3.

Ответ

3.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7241