Задача 87033

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На ребре DC треугольной пирамиды ABCD взята N , причём CN = 2DN , а на продолжениях рёбер CA и CB за точки A и B соответственно – точки K и M , причём AC = 2AK и MB = 2BC . В каком отношении плоскость, проходящая через точки M , N и K , делит объём пирамиды ABCD ?

Решение

Пусть прямые DB и MN пересекаются в точке P , а прямые DA и KN – в точке Q . Рассмотрим плоскость грани BCD (рис.2). Через точку D проведём прямую, параллельную BC . Пусть T – точка пересечения этой прямой с продолжением MN . Из подобия треугольников DNT и CNM находим, что

DT = CM· = CM = · BM = BM.
Из подобия треугольников DPT и BPM следует, что
= = · = ,
значит, = . Рассмотрим плоскость грани ACD (рис.3). Через точку D проведём прямую, параллельную AC . Пусть F – точка пересечения этой прямой с продолжением KN . Из подобия треугольников DNF и CNK находим, что
DF = CK· = CK = · 3AK = AK.
Из подобия треугольников DQF и AQK следует, что
= = · = ,
значит, = . Поэтому
= · · = · · = .
Пусть V1 и V2 – объёмы многогранников, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCD (рис.1). Тогда = .

Ответ

3:32 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7245