Задача 87036

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . На рёбрах AB и PC взяты соответственно точки K и M , причём AK:KB = CM:MP = 1:2 . В каком отношении плоскость, проходящая через точки K и M параллельно прямой BD, делит объём пирамиды PABCD ?

Решение

Плоскость основания ABCD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой l , проходящей через точку K параллельно BD . Пусть L – точка пересечения прямой l со стороной AD параллелограмма ABCD . Тогда = = . Пусть F и E – точки пересечения прямой l с продолжениями BC и CD соответственно. Обозначим BC = AD = a . Из подобия треугольников BKF и AKL находим, что

BF = AL· = a· 2 = a, CF = BC + BF = a + a = a.
Плоскости граней BPC и APD проходят через параллельные прямые BC и AD и имеют общую точку P . Значит, они пересекаются по некоторой прямой m , параллельной прямым BC и AD . Рассмотрим плоскость грани BPC . Пусть прямая FM пересекает ребро PB в точке N , а прямую m – в точке T . Из подобия треугольников PMT и CMF находим, что
PT = CF· = a· 2 = a,
а из подобия треугольников PNT и BNF следует, что
= = = 5.
Если Q – точка пересечения прямой EM с ребром DP , то аналогично докажем, что = 5 . Пусть h – высота данной пирамиды, S – площадь её основания, V – объём. Тогда высота треугольной пирамиды MCFE с вершиной M равна h , а высоты треугольных пирамид NBFK и QDEL с вершинами N и Q равны h . Далее имеем:
S_{Δ AKL} = S_{Δ ABD} = · S = S,

S_{Δ DEL} = S_{Δ BFK} = 4S_{Δ AKL} = S,

S_{Δ CFE} = S_ABCD - S_{Δ AKL} + 2S_{Δ BFK} = S - S + S = S.
Значит,
V_MCFE = S_{Δ CFE}· h = · S· h = · Sh = V,

V_NBFK = S_{Δ BFK}· h = · S· h = · Sh = V,

V_CBKLDQMN = V_MCFE - 2V_NBFK = V - V = V = V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём данной пирамиды в отношении 11:7 .

Ответ

11:7 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7248