Задача 87038

Темы:    [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите углы между прямыми: а) AA1 и BD1 ; б) BD1 и DC1 ; в) AD1 и DC1 .

Решение

а) Пусть ребро куба равно a . Поскольку прямая AA1 параллельна прямой BB1 (рис.1), то угол между прямыми AA1 и BD1 равен углу между прямыми BB1 и BD1 , т.е. углу B1BD1 . Из прямоугольного треугольника B1BD1 находим, что

cos B1BD1 = = = .
б) Поскольку BC – перпендикуляр к плоскости DD1C1C (рис.2), прямая CD1 – ортогональная проекция наклонной BD1 на плоскость DD1C1C , а т.к. CD1 DC1 (как диагонали квадрата DD1C1C ), то по теореме о трёх перпендикулярах BD1 DC1 , т.е. угол между прямыми BD1 и DC1 равен 90^o . в) Поскольку прямая AB1 параллельна прямой DC1 (рис.3), то угол между прямыми AD1 и DC1 равен углу между прямыми AB1 и AD1 , т.е. углу B1AD1 , а т.к. треугольник B1AD1 – равносторонний, то B1AD1 = 60^o .

Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z , = , = , = , x = y = z = a . Тогда
= - + + , = + , = + .
Если α , β и γ – искомые углы, то
cos α = = =

= = = ,

cos β = = =

= = = 0,

cos γ = = = = = .
Следовательно,
α = arccos , β = 90^o, γ = 60^o.

Ответ

Ю) arccos ; А) 90^o ; Б) 60^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7251