Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется две кучки камней - по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

   Решение

---

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной прямой.

   Решение

---

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 . На отрезках AB1 и BC1 взяты точки P и Q , причём AP:PB1 = C1Q:QB = 2:1 . Докажите, что отрезок PQ перпендикулярен прямым AB1 и C1B , и найдите его длину, если ребро куба равно a .

Решение

Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z , = , = , = , x = y = z = a . Тогда

= + , = + ,

=+ + = + - =

= ( + ) + - ( + ) = + - = ( + - ).
Поэтому
· = ( + - )( + ) =(· - · ) = (a2 - a2) = 0

· = ( + - )(+) = (· - · ) = (a2 - a2) = 0.
Следовательно, PQ AB1 и PQ C1B . Далее имеем:
PQ2 = ( + - )2 = (2 + 2 + 2) = (a2 + a2 + a2) = a2.
Следовательно, PQ = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования