ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87043
Темы:    [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
[ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В тетраэдре ABCD известно, что AB = 3 , BC = 4 , AC = 5 , AD = DB = 2 , DC = 4 . Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины D .

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . Тогда

= ( + + ),

поэтому
2 = (++)2 =


= (DA2 + DB2 + DC2 + 2· · + 2· · + 2· · ).

Из равенства = - следует, что
AB2 = DB2 - 2· · + DA2,

откуда находим, что
2· · = DB2 + DA2 - AB2 = 4 + 4 - 9 = -1.

Аналогично,
= - , BC2 = DC2 - 2· · + DB2,


= - , AC2 = DA2 - 2· · + DC2,

откуда
2· · = DC2 + DB2 - BC2 = 16 + 4 - 16 = 4,


2· · = DA2 + DC2 - AC2 = 4 + 16 - 25 = -5.

Следовательно,
2 = (DA2 + DB2 + DC2 + 2· · + 2· · + 2· · ) =


= (4 + 4 + 16 - 1 + 4 - 5) = · 22 = , DM = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7256

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .