Задача 87043

Темы:    [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ] [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В тетраэдре ABCD известно, что AB = 3 , BC = 4 , AC = 5 , AD = DB = 2 , DC = 4 . Найдите медиану тетраэдра, проведённую из вершины D .

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . Тогда

= ( + + ),
поэтому
2 = (++)2 =

= (DA2 + DB2 + DC2 + 2· · + 2· · + 2· · ).
Из равенства = - следует, что
AB2 = DB2 - 2· · + DA2,
откуда находим, что
2· · = DB2 + DA2 - AB2 = 4 + 4 - 9 = -1.
Аналогично,
= - , BC2 = DC2 - 2· · + DB2,

= - , AC2 = DA2 - 2· · + DC2,
откуда
2· · = DC2 + DB2 - BC2 = 16 + 4 - 16 = 4,

2· · = DA2 + DC2 - AC2 = 4 + 16 - 25 = -5.
Следовательно,
2 = (DA2 + DB2 + DC2 + 2· · + 2· · + 2· · ) =

= (4 + 4 + 16 - 1 + 4 - 5) = · 22 = , DM = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7256